11/10/2001 - 10h55

Resumão/matemática - A regra de Cramer

JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
especial para a Folha de S.Paulo

A discussão de métodos para a resolução de sistemas de equações é assunto bastante freqüente na matemática escolar. No ensino fundamental, resolvemos sistemas por substituição de variável ou por adição de equações, ao passo que, no ensino médio, aprendemos a resolvê-los pela regra de Cramer (com cálculo de determinantes) ou por escalonamento. A regra de Cramer, que por vezes tem sido mais discutida e praticada do que o método de escalonamento, constitui procedimento bastante inadequado para a resolução de sistemas com muitas equações e incógnitas. Façamos algumas contas para tornar essa idéia mais transparente.

Lembremos que, para resolver um sistema linear de n equações e n incógnitas por Cramer, temos de calcular n+1 determinantes de matrizes quadradas de ordem n. Se quisermos resolver cada um desses determinantes pelo desenvolvimento de uma linha (ou coluna) usando o teorema de Laplace, seremos obrigados executar um determinado número de somas e de multiplicações. Observe a tabela abaixo com indicações do número de multiplicações (M) e de adições (A) necessárias para calcular o determinante de uma matriz escolhendo uma linha e aplicando o teorema de Laplace. (veja quadro abaixo)

Arte Folha Online

Se você tiver uma calculadora na mão e alguma paciência, poderá conferir que o determinante de uma matriz 20x20 exigiria um total de multiplicações e adições da ordem 6.10¹⁸.Estimando em 3,6.µs, (3,6.10^-6) o tempo gasto por um computador para realizar uma operação aritmética, o cálculo do determinante de uma matriz 20x20 feito dessa forma por uma máquina levaria cerca de 700 mil anos. Observando que a resolução de um sistema linear de 20 equações e 20 incógnitas por Cramer exige 21 cálculos de determinantes, levaríamos 15 milhões de anos para resolvê-lo com um computador.

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José Luiz Pastore Mello é professor de matemática do Colégio Visconde de Porto Seguro

Fovest - 11.out.2001

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