06/09/2001 - 06h22

RESUMÃO-MATEMÁTICA: O preço justo de uma estrada

JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
especial para a Folha

Nem sempre o pensamento algébrico é o melhor caminho para se resolver um problema geométrico. Acompanhe, através de uma situação proposta abaixo, uma engenhosa saída para um problema geométrico de construção de estradas que envolve muito mais raciocínio do que propriamente ferramentas algébricas.

Um engenheiro deverá construir, ao menor custo possível, uma estrada que ligue as cidades A e B passando por um ponto P localizado em uma rodovia principal, conforme indica a figura 1.

Sabe-se que o ponto P sobre a rodovia deverá ser determinado de tal forma que não haja "super-faturamento" na obra, ou seja, de tal forma que a soma das distâncias AP e PB seja a menor possível. Qual a melhor localização para P?

É fácil perceber que não seria boa estratégia o raciocínio algébrico de introduzir variáveis na figura e aplicar o teorema de Pitágoras uma vez que isso implicaria, no final das contas, na busca do mínimo de uma função extremamente complicada (verifique você mesmo!). Que tal uma saída mais honrosa para o problema? Acompanhe a figura 2.

Observe que um triângulo com vértices em A,A' e em um ponto qualquer Q sobre a rodovia principal será sempre isóceles com QA=QA'.

Sendo assim, calcular a soma QA+QB é mesmo que calcular a soma QA'+QB. Posto isso, observe na figura que, ao deslocarmos o ponto Q para a esquerda, o menor valor possível para QA'+QB ocorrerá quando Q coincidir com o ponto P (solução ideal).

Fazendo as contas, você notará que P deve situar-se 4/3 km à direita da intersecção entre AA' e a rodovia principal. Bons estudos!

José Luiz Pastore Mello é professor de matemática do COlégio Visconde de Porto Seguro