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03/10/2002
-
10h57
da Folha de S.Paulo
Qual o resultado da soma 2+1+0,5+0,25+0,125+... ? A pergunta é intrigante e de resposta misteriosa mesmo para aqueles que já estudaram as progressões geométricas infinitas. Usando a intuição, provavelmente responderíamos que o problema da soma é impossível porque envolve infinitas parcelas. Desse ponto de vista, a soma seria tanto maior quanto maior o número de parcelas utilizadas no cálculo.
Por outro lado, observando que a progressão dos termos é geométrica de razão 0,5, poderíamos utilizar a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita para fazer a conta. Segundo essa fórmula, basta dividir o primeiro termo da seqüência pela diferença entre 1 e a razão da progressão, ou seja, 2/(1-0,5), que é igual a 4. Afinal de contas, qual dos raciocínios está correto, o da soma impossível ou o da soma igual a 4?
Historicamente o estudo das séries infinitas situa-se na fronteira entre a matemática e a filosofia. Os matemáticos gregos da Antiguidade, que sempre primaram pelo rigor das apresentações, evitavam o infinito por entender que ele seria permanente fonte de dificuldades lógicas. Atualmente, o conceito de soma infinita é formulado de modo a evitar um envolvimento direto com infinitas parcelas. Dada a soma Sn da série finita a1+a2+...+an, dizemos hoje que S será a soma da série infinita a1+a2+...+an+..., se a diferença S-Sn puder ser feita menor do que qualquer número positivo, desde que se faça n suficientemente grande.
De outra forma, o que essa definição nos diz é que o erro que cometemos ao tomarmos Sn em lugar de S pode ser feito tão pequeno quanto quisermos, desde que façamos n suficientemente grande.
No caso do nosso exemplo numérico, diríamos que, para um número de termos muito grande, o resultado da soma se tornará tão próximo de 4 quanto desejarmos. Ou seja, "estipulado" um determinado erro, por menor que ele seja, sempre será possível encontrar um número de termos da seqüência que faça a soma ser exatamente igual a 4.
José Luiz Pastore Mello é professor da Faculdade de Educação da USP
Leia mais:
Atualidades: Timor Leste torna-se 191º membro da ONU
Geografia: Os três grandes grupos de rochas na crosta terrestre
Física: Geomagnetismo - bússolas e auroras polares
Português: Falta de paralelismo semântico cria efeito de estilo
Matemática: Reflexões sobre o infinito
JOSÉ LUIZ PASTORE MELLOda Folha de S.Paulo
Qual o resultado da soma 2+1+0,5+0,25+0,125+... ? A pergunta é intrigante e de resposta misteriosa mesmo para aqueles que já estudaram as progressões geométricas infinitas. Usando a intuição, provavelmente responderíamos que o problema da soma é impossível porque envolve infinitas parcelas. Desse ponto de vista, a soma seria tanto maior quanto maior o número de parcelas utilizadas no cálculo.
Por outro lado, observando que a progressão dos termos é geométrica de razão 0,5, poderíamos utilizar a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita para fazer a conta. Segundo essa fórmula, basta dividir o primeiro termo da seqüência pela diferença entre 1 e a razão da progressão, ou seja, 2/(1-0,5), que é igual a 4. Afinal de contas, qual dos raciocínios está correto, o da soma impossível ou o da soma igual a 4?
Historicamente o estudo das séries infinitas situa-se na fronteira entre a matemática e a filosofia. Os matemáticos gregos da Antiguidade, que sempre primaram pelo rigor das apresentações, evitavam o infinito por entender que ele seria permanente fonte de dificuldades lógicas. Atualmente, o conceito de soma infinita é formulado de modo a evitar um envolvimento direto com infinitas parcelas. Dada a soma Sn da série finita a1+a2+...+an, dizemos hoje que S será a soma da série infinita a1+a2+...+an+..., se a diferença S-Sn puder ser feita menor do que qualquer número positivo, desde que se faça n suficientemente grande.
De outra forma, o que essa definição nos diz é que o erro que cometemos ao tomarmos Sn em lugar de S pode ser feito tão pequeno quanto quisermos, desde que façamos n suficientemente grande.
No caso do nosso exemplo numérico, diríamos que, para um número de termos muito grande, o resultado da soma se tornará tão próximo de 4 quanto desejarmos. Ou seja, "estipulado" um determinado erro, por menor que ele seja, sempre será possível encontrar um número de termos da seqüência que faça a soma ser exatamente igual a 4.
José Luiz Pastore Mello é professor da Faculdade de Educação da USP
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